Entrevista club de matemáticas con el profesor Curtis McMullen

Original web-page: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html

por Anne-Marie Oreskovich y Dmitry Sagalovskiy


El semestre pasado, el club de matemáticas tuvo el privilegio de entrevistar a la profesora de Harvard y campos recientes medallista de Curtis McMullen. Durante la entrevista de una hora, el profesor McMullen habló de su pasado, su investigación, sus experiencias en varias universidades de todo el país, y la medalla Fields. El club de matemáticas le gustaría agradecer al profesor McMullen por tomarse el tiempo para hacernos llegar a conocerlo mejor. Para obtener más información sobre el profesor McMullen, véase su página web en http://math.harvard.edu/~ctm


Q: ¿Cuánto tiempo ha estado en Harvard?

M: Un año y medio si no se cuenta mis días de estudiante graduado.

Q: Así que usted era un estudiante graduado aquí?

M: Derecha.

Q: ¿Y dónde estaba usted un estudiante?

M: Yo estaba en el Williams College en Massachusetts occidental, y luego pasé un año en Cambridge, Inglaterra.

Q: ¿De dónde eres?

M: En cierto modo es una pregunta difícil de responder. Básicamente crecí en Charlotte, Vermont, pero en realidad nací en Berkeley, California. Nos trasladamos a un poco demasiado, pero pienso en mí mismo como de Vermont.

Q: Entonces, ¿podría contarnos un poco acerca de la medalla?

M: Creo que se inició en la década de 1930. Fue establecido por un canadiense, campos, y sé que Ahlfors y Douglas se les dio los dos primeros. Que se le da cada cuatro años en el ICM, y en los últimos años han estado dando a tres o cuatro personas. Así que vamos a ver, ¿quién más tiene este año? Kontsevich, Gowers, y Borcherds. En realidad todos ellos a excepción de Gowers han pasado tiempo en Berkeley, que es donde estaba durante los últimos siete años antes de venir aquí. Así que sabía tanto Borcherds y Kontsevich de Berkeley.

Q: ¿Dónde estabas cuando te enteraste?

M: Yo estaba aquí. A encontrar un par de meses de antelación, y se supone que debe ser mantenido en secreto hasta el mismo día de la ceremonia. Así que en realidad no le dije a nadie, que era bastante difícil, porque había rumores que circulan, y tendría que ser constantemente negando ellos.

Q: ¿Puede decirnos un poco acerca de lo que su investigación estaba en que dio la medalla?

M: Quisiera comenzar con la dirección de mi investigación. En primer lugar, escribí mi tesis en Harvard, pero yo no trabajo con un profesor de Harvard. Había estado haciendo un trabajo informático con David Mumford en grupos kleinianas antes de graduarme, y me interesé en el tema. Pero en realidad terminé escribiendo mi tesis con Dennis Sullivan, que en ese momento era profesor en la City University de Nueva York y IHES en Francia. Así que estaba muy afortunado de que Mumford me presentó a él en el último año de mi carrera de posgrado, y en ese momento no tenía ni asesor y ningún tema de tesis. Y fui a Francia y trabajado con Sullivan en IHES por un semestre, y me encontré con Steve Smale ahí que me dio este problema agradable tesis sobre la solución de ecuaciones polinómicas por iteración.

Usted probablemente ha escuchado del método de Newton para resolver polinomios. Si se aplica el método de Newton para un polinomio de tercer grado, puede que no funcione. Usted puede quedar atrapado debajo de un mínimo local. Y si cambia la estimación inicial un poco, puede ser que todavía no converger a una raíz. Así que el método de Newton no es confiable para la solución de ecuaciones polinómicas. El problema que trabajé fue si hubo o no cualquier algoritmo como el método de Newton, con la participación de iteración sólo una función racional, que puede resolver ecuaciones polinómicas de forma fiable. Pude probar la respuesta es no para el grado 4 o más, y en realidad me encontré con un nuevo algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas, que es confiable.

Luego fui a MSRI y estaba en el MIT por un semestre, a continuación, Princeton durante cuatro años. Peter Doyle y yo trabajamos en Princeton en la solución de las ecuaciones de quinto grado, y nos encontramos con este hermoso algoritmo inesperado para resolver polinomios de quinto grado. Pero no está en contradicción con la tesis porque es una torre de iteraciones; es decir, que usted repite una función racional, tomar la cosa a la que converge, y enchufe que en otro.

Como ya sabrán, la solución de la ecuación de quinto grado está ligada con el grupo de Galois A5, y el hecho de que A5 es un grupo simple. Esto fue utilizado por Galois para demostrar que no puede resolver la ecuación de quinto grado por radicales.

Resulta que sea capaz de resolver una ecuación usando un mapa iterado racional, lo que tiene que hacer es encontrar un mapa racional cuyo grupo de simetría es el grupo de Galois del polinomio. Ahora sólo hay un pequeño conjunto de grupos que pueden ser grupos de simetría en la esfera de Riemann, y los interesantes provienen de los sólidos platónicos. Así que un5, el grupo de simetría del dodecaedro, es el más complicado que puede obtener. Utilizamos este mapa racional con A 5 simetría para dar un nuevo algoritmo para resolver la ecuación de quinto grado con fiabilidad. Y por la misma razón, ya que S6 o A6 no opera en la esfera de Riemann, no hay algoritmo similar para resolver ecuaciones de grado 6, o más. Lo que fue mi primera área de investigación: polinomios de resolución, y la dinámica de mapas racionales. Enlazar

Ahora, el siguiente en lo que trabajé cuando estaba en Princeton era la teoría de hiperbólicas 3-variedades de Thurston. Thurston tiene un programa de investigación, que ha tenido mucho éxito, para tratar de encontrar una geometría canónica para objetos tridimensionales. Por ejemplo, si se imagina que tienes un poco de colector, es decir en secreto una 3-esfera, si se pudiera encontrar alguna manera una métrica redonda sobre ella, entonces sería repentinamente reconocerla como la 3-esfera. Así que si usted puede encontrar una métrica que da el colector de una buena forma, entonces se puede reconocer lo que es el colector. Resulta que la mayoría de las variedades tridimensionales admiten estas métricas, pero las métricas no se curvan de manera positiva como la 3-esfera, que son de curvatura negativa. Por ejemplo, si se toma el exterior de un nudo en S3, Un complemento nudo, entonces es casi siempre admite uno de estos llamados métricas hiperbólicas de curvatura negativa constante. Debido a eso, ahora hay programas de ordenador, donde sólo se puede dibujar un nudo al azar con un ratón, y hacer clic, y dentro de uno o dos segundos que le dirá exactamente lo que es un nudo. Y si le dan dos nudos, se reconocerá de inmediato si son o no son el mismo nudo. Esto es sorprendente debido a que el problema de la clasificación nudos era clásicamente extremadamente difícil de resolver.

Si bien en Princeton me encontré con una nueva prueba, analítica del teorema de Thurston que proporciona estructuras hiperbólicas en muchas 3-variedades, incluyendo la mayoría de los complementos de nudos. Esta nueva prueba tiene que ver con la serie de Poincaré, un tema clásico en el análisis complejo, y que también conducen a la solución de las conjeturas de Kra y Bers. Más tarde, en Berkeley empecé a ver paralelismos entre la teoría de las 3-variedades que la fibra sobre el círculo; este tema se trabajó en 2 libros que aparecieron en la revista Annals of Math Princeton. “Estudios”. La medalla Fields era, supongo, en reconocimiento de estos proyectos.

Así que trabajé en la dinámica de mapas racionales, y trabajé en hiperbólicas 3-variedades, y trabajé en superficies de Riemann de por sí, y también he trabajado en la topología de las superficies y los nudos. Y lo que me gustaría destacar es que para mí todos esos campos son realmente el mismo campo. Usted muy fácilmente empezar a trabajar en un problema en la dinámica, y se encuentra a pocos meses más tarde trabajando en un problema en la teoría de nudos o topología, ya que están muy interconectados – nudos, análisis complejo, polinomios, las superficies de Riemann, hiperbólicas 3-variedades, etc. en realidad no hay un nombre para este campo, pero ese es el campo de trabajo en.

Q: ¿Así que podría decirse que ha estado en las cuatro mejores escuelas de Estados Unidos para las matemáticas: Princeton, Berkeley, MIT y Harvard. Se puede comparar y contrastar ellos en términos de la atmósfera, la amabilidad, la gente en el ritmo de trabajo, etc., para los estudiantes pensando en ir a la escuela de posgrado?

M: Ellos son realmente diferentes. Permítanme dejar de lado el MIT, porque sólo pasó un semestre allí. Princeton es un departamento excelente, pero la ciudad es un poco estirado y aburrido para una persona joven. Cuenta con la más alta densidad de personas de “Quién es quién”, y es muy culta. No hay nada inesperado ocurriera alguna vez. Por lo tanto, no parece muy animado para mí. Pero yo no estaba allí como estudiante graduado. Princeton es un lugar maravilloso para ir a si usted sabe que no va a estar ahí para siempre. Miro hacia atrás con mucho cariño en mis años en Princeton.

Princeton y Harvard tanto tratan a sus estudiantes graduados muy bien. Hay una buena relación entre el número de alumnos por docente. Los estudiantes están bien financiados, los departamentos son lo suficientemente pequeño que los estudiantes reciben mucha atención individual. Y creo que los estudiantes aprenden mucho unos de otros en los dos lugares. Eso es un gran componente de la educación universitaria.

Berkeley también es realmente maravilloso. Es un lugar que tiene un enorme departamento, un centenar de profesores si se cuenta emereti. Realmente me encantó, pero se necesita mucha energía para encontrar un buen lugar para vivir, para encontrar un buen asesor, y para entrar en el nicho de la derecha, matemáticamente y así sucesivamente. Pero a medida que lo hace, se le paga de vuelta mucho. Y el tiempo es bueno. Se puede caminar desde el campus en Strawberry Canyon luego en el parque de Tilden, y estar completamente fuera de la vista de la humanidad dentro de los 40 minutos. (En Harvard, por el contrario, descubrí que podía bicicleta durante una hora, y aún así estar en los suburbios …) En Berkeley la natación piscinas están al aire libre, es muy animado, y también es muy tolerante – a todo tipo de diferentes estilos de vida, diferentes tipos de personas. Se siente una sensación de libertad. Usted no se siente ningún reparo en probar una nueva idea, y no preocuparse tanto acerca de si es o no va a funcionar. Una de las mejores cosas de Berkeley es que hay tantos estudiantes graduados, y tantas posdoctorados en la zona, especialmente con MSRI, que puede tener un grupo de trabajo sobre cualquier tema matemático que se pueda imaginar. Hay una gran cantidad de interés matemático allí.

Me gustó mucho de ser un estudiante graduado en Harvard también. Cambridge y Berkeley ambos tienen ventajas sobre Princeton, en el sentido de que son comunidades de jóvenes, hay mucho que hacer, que están cerca de una ciudad importante. Se puede decir que un poco de mi experiencia graduado que aunque creo que Harvard es realmente grande, el hecho de que su facultad es pequeño puede hacer que sea difícil encontrar un asesor que está en el área que desea trabajar. Y creo que la verdadera clave del éxito en la universidad es encontrar algo que le interesa lo suficiente como para seguir jugando durante cuatro o cinco años.

Q: ¿Por qué decidió venir a Harvard de Berkeley?

M: Me llegó por primera vez en calidad de visitante. Y lo encontré muy divertido para enseñar aquí. En Berkeley clases para los estudiantes universitarios suelen ser muy grandes, y fue simplemente muy gratificante tener estos muy buenos estudiantes en una clase pequeña. Y realmente me gustó el hecho de que el departamento es tan pequeño que es fácil conocer a otros miembros de la facultad. Y, por supuesto, desde que era un estudiante graduado aquí, siempre hacia arriba para Harvard como este maravilloso lugar. De hecho, me pareció difícil de imaginar ser un profesor aquí, así que quería explorar lo que sería como. Me gusta el hecho de que mis áreas de interés son diferentes de, pero la coincidencia con, las de otras personas en el departamento. Estoy muy interesado en muchas de las cosas que hacen los demás aquí. Así que para mí, en cierto modo, me permite continuar mi educación.

Q: Pero no esta a disminuir sus oportunidades de colaboración con otros miembros de la facultad?

M: En primer lugar he viajado un poco, así que ver la gente que está en mi campo en Francia, o en Stonybrook, o en otro lugar. Sin embargo, la mayoría de la investigación se lleva a cabo por su cuenta; Hago todo lo posible la investigación por mi cuenta. Es muy útil ser capaz de ejecutar una discusión por un experto en el campo, pero en realidad no echo de menos tener a alguien que está exactamente en mi campo a colaborar. Tengo que admitir, que era una decisión difícil venir aquí. Echo de menos vivir en Berkeley, y yo podría pasar un año sabático allí.

Q: ¿Te ves como un matemático renacimiento en el sentido de que su trabajo abarca una amplia variedad de áreas de matemáticas?

M (riendo): No, me veo más como un aficionado, alguien que salpica en muchas áreas diferentes y se interesa por muchas cosas diferentes; Desde luego, no diría un matemático renacimiento. Ahora, me gusta un montón de diferentes tipos de matemáticas, y me gusta trabajar en algo que no soy un experto en y aprender sobre ese tema. Este campo que he estado describiendo es realmente maravilloso de esa manera, porque su tan amplia que hace contacto con muchos tipos diferentes de las matemáticas. Cuando llegué a Harvard, he encontrado que para mucha de la teoría (como la teoría de Hodge sobre variedades complejas, etc.), yo realmente no lo entiendo y no estaba muy motivado para estudiarlo. Así que empecé con un tema que podría aprender muy bien: una variable real.

Tomé un curso de análisis real cuando era estudiante; Fui a Stanford por un año y tomó un gran campo de análisis real de Benjamin Weiss, que fue profesor visitante de Jerusalén. Y eso realmente me entusiasmó sobre el análisis. Luego volví a Williams y trabajé estrechamente con Bill Oliver. Él fue muy influyente en mi educación matemática; que era de él que supe por primera vez esta idea de usar diccionarios en matemáticas para su uso como una especie de analogía entre distintos campos o diferentes desarrollos teóricos para tratar de guiar mi trabajo. Así que esas eran mis primeras influencias.

Cuando llegué a Harvard y yo era una especie de echar sobre. Yo sabía cómo programa de ordenador – que había estado trabajando en los veranos en IBM-Watson en Yorktown Heights – y Mandelbrot y Mumford eran casi colaboradoras; Mandelbrot fue equipando el acceso a las computadoras en Yorktown Heights a Mumford, que estaba dibujando estas bellas imágenes de juegos de carrera de los grupos de Klein. Como alguien que estaba familiarizado con el mundo de la informática en Yorktown, empecé a trabajar para él como su programador informático, ayudándole a sacar estas fotos y así sucesivamente. Hay que imaginar, en aquellos días, tuvimos que hacer una llamada de módem de larga distancia y luego trabajar a un 30 caracteres por segundo terminales escribir programas en FORTRAN. Entonces podríamos hacer un dibujo y que tendríamos que esperar una semana para que puedan enviarlo por correo a nosotros de Yorktown para ver si salió bien.

Entonces me interesé por la dimensión de Hausdorff, y ya que sabía poco de análisis real, he intentado trabajar en eso. Mi primer trabajo fue siempre en un problema que aprendí cuando me encontré con el profesor Hironaka, que era profesor de Harvard en el momento, a pesar de que había estado de permiso en Japón. La primera vez que regresó de Japón, me dijo esta pregunta que no había sido capaz de resolver, que era para calcular la dimensión fractal de un conjunto particular. Este conjunto se obtiene mediante la elaboración de la letra “M” y repitiendo la misma figura, como se muestra aquí.

Al final se obtiene un conjunto con el que no es auto-similar, pero es autoafín. Fractales, cuyas dimensiones son fáciles de calcular tienen la propiedad de que si se toma una pequeña pieza y re-escala que por el mismo factor en ambas dimensiones, se ve como una pieza más grande. Éste tiene la propiedad de que un muy pequeño hueco se puede escalar a la gran diferencia, pero hay que escalar por una potencia de dos en una dirección y por una potencia de tres en el otro; debido a la dimensión que es de difícil de calcular. En mi primer trabajo de investigación, computé dimensión es: D = log 2 (1 + 2 log 3 2). Eso era un problema maravilloso; Trabajé en que es muy difícil. Se puede ver que me ha gustado estar cerca de la planta de matemáticas comprendí realmente.

Entonces empecé a recibir más interesados ​​en la dinámica compleja, así que fui a una variable compleja a partir de una variable real; Siempre quedé cerca de cosas que realmente podía entender. Así que ahora, doce años después de mi tesis doctoral, por fin estoy escribiendo un trabajo que tiene que ver con la geometría Kähler.; y desde luego no me sentía a gusto con la métrica de Kähler cuando yo estaba en la universidad. Tenía que trabajar no sólo a los temas, sino también ver una motivación interna para llegar a ellos, en vez de que se dejó caer en un “así que esto es lo que vamos a aprender a continuación” -männer.

Q: ¿Cuál fue la “analogía diccionario” de la que hablaste?

M: Mi mayor influencia matemática fue mi director de tesis, Dennis Sullivan. No sólo era mi director de tesis, pero cuando aún estaba en IHES en Francia, vamos a pasar un par de meses juntos cada verano allí, y me gustaría ir a su seminario de Nueva York o de Princeton. Es un profesor en Stony Brook, Nueva York ahora, y trato de visitar allí una vez al año.

Sullivan inventó una hermosa diccionario entre mapas racionales y grupos de Klein. Un mapa racional es un mapa de la esfera de Riemann a sí mismo dada por el cociente de dos polinomios; por ejemplo x2 + c, donde el polinomio del denominador es 1. Lo interesante es estudiar iteración de estos mapas. Cuando usted tiene un compacto hiperbólica 3-variedad, su cobertura universal resulta ser el sólido 3-bola (abierta). El cociente de la 3-bola por la acción del grupo fundamental del colector original es el colector de nuevo. El 3-bola puede ser compactificada mediante la adición de su límite en R3, a saber, la esfera S2. La acción de grupo en la bola 3 se extiende hasta el límite S2 como transformaciones de Möbius (es decir, los mapas de la forma (az + b)/(cz + d)). Esto se llama un grupo de Klein. Nótese que comenzamos considerando un colector de 3 dimensiones y terminamos con un sistema dinámico en la esfera. Esta es la forma en que se conectan los dos sujetos. Hay muchos teoremas para realizar esta conexión explícita. Yo escribí un artículo encuesta (“La clasificación de los sistemas dinámicos de conformación”) para la conferencia de Yau que establecía no sólo este diccionario, sino un programa de investigación para probar los resultados basados ​​en él. La comprensión y el desarrollo de este diccionario ha sido una gran motivación en mi trabajo. Por ejemplo, una gran brecha en el diccionario se está invirtiendo el proceso que he descrito – si se nos da un sistema dinámico en la esfera, nadie sabe cómo encontrar un objeto tridimensional asociado a la misma. Hay mucho queda por hacer en este campo emocionante!

Q: ¿Dónde guardas medalla de su campo? ¿Se mantiene en casa?

M (riendo): No puedo revelar esa información!

Q: ¿Cuál era la situación cuando ganó la Medalla del campo? ¿Como se sintió?

M: Mi primera reacción fue de asombro completa; Yo estaba realmente horrorizado. En realidad pensé que no estaba calificado, en términos de edad. También sabía tantas grandes matemáticos aquí, y en Berkeley, y otros lugares, que no podía creer que había sido seleccionado. Además, en 1991, gané el Premio Salem, esto es un premio en el análisis; Me complace ser reconocidos de esa manera porque me gusta mucho el campo – que era la primera, como matemático. De hecho, había escrito mi tesina como estudiante graduado en números de Salem, y este premio es en honor a Rafael Salem, por lo que tiene un significado personal para mí. Nunca había esperado conseguir cualquier reconocimiento de ese tipo, por lo que sin duda sentí que ya había tenido mi cuota de reconocimiento. (Yo estaba igualmente sorprendido Tengo una oferta de Harvard;., De nuevo, no sabía qué decir)

Esto trae a la mente es un dicho de Lipman Bers, que era uno de mis mentores; dijo: “La matemática es algo que hacemos de mala gana la admiración de algunos amigos cercanos.” Creo que es una buena descripción de las matemáticas; usted no espera más que eso, porque la satisfacción de las matemáticas es realmente una cosa personal. Así que me siento muy afortunado de haber sido seleccionados para el reconocimiento por el comité medalla Fields.

Una de las cosas maravillosas acerca de las matemáticas es que la comunidad es bastante pequeño. Cuando fui a Berlín para recibir este premio, muchas personas que conocían bien a lo largo de los años estaban presentes – una maravillosa comunidad internacional de amigos de la mía. Fue realmente una cosa agradable.

Q: ¿Cómo fue capaz de contener su entusiasmo?

M: Bueno, lo que pasó fue, yo estaba tan aterrado que rápidamente se olvidó de él, porque no podía realmente creer. Y luego cada vez en cuando, me gustaría recordar. Y yo creo, que no puede ser cierto (risas), y, por supuesto, yo no tendría ninguna manera de comprobar, ya que tenía que ser un secreto.

Q: ¿Hay algo más que te gustaría compartir con nosotros sobre la medalla?

En realidad, tengo una historia de cuando yo volvía de Berlín. El guardia de seguridad en el aeropuerto de funcionamiento del detector de metales me detuvo cuando mi mochila fue a través de la máquina. Ella dijo: “Disculpe, ¿qué es lo que tiene en su mochila aquí?”, Le dije, “Es una medalla de oro.” Ella dijo, un poco dubitativo, “Mmm hmm.” Así que lo saqué de mi mochila. Un poco disgustado, ella dijo: “Oh, muy agradable; ¿es suyo?” Le dije: ‘Mmm hmm!’

 

 

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