GUÍA DE ESCUELAS DE FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

GUÍA DE ESCUELAS DE FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

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Estas páginas contienen guías para algunas de las principales posiciones e ideas de la filosofía de las matemáticas. Para volver a la página principal del sitio de la Escuela de Sydney, haga clic aquí.

Las preguntas

Las matemáticas y la filosofía son las dos antiguas disciplinas abstractas. Pero las matemáticas han sido especialmente problemáticas para la filosofía. ¿Cómo es posible que haya una gran cantidad de conocimiento (aparentemente cierto) alcanzable en un sillón, mediante el pensamiento puro? ¿Cuáles son las entidades extrañas como “números”, “funciones” y “espacios de Hilbert” de las que los matemáticos hablan en términos tan directos y literales? ¿Cómo es que estas entidades aparentemente abstractas resultan tan indispensables en la ciencia real?

¿Podría ser que las matemáticas sean ciertas porque las impone la mente? ¿O es quizás de alguna manera trivial, tautóloga o una manipulación puramente formal de los símbolos? ¿O las matemáticas tienen un tema, después de todo, y si es así, son números en otro mundo o algunas propiedades de seres en este mundo? Las posibles respuestas son muchas…

Kant en matemáticas

Kant (1724-1804) pensó que podía explicar las matemáticas y la lógica como si estuvieran compuestas de enunciados sintéticos (por lo tanto, no son verdaderos en virtud únicamente del significado) que también son a priori (por lo tanto, un conocimiento que no se ve afectado por ningún posible descubrimiento empírico) esencialmente al hacer tales importa parte de las características estructurales de la mente, de alguna manera constitutivas de la cognición misma. Pensaba que la geometría euclidiana se abstraía de nuestro pensamiento espacial; que la silogística aristotélica se abstrajo de nuestro razonamiento lógico; y que la aritmética (la teoría de los números) se abstrajo de la secuencia temporal del pensamiento (porque ambos tenían un orden lineal). Pensaba que estas teorías matemáticas eran psicológicamente inevitables, que esencialmente eran límites estructurales de nuestro pensamiento. Nuestros pensamientos tienen una forma particular, tanto como una pompa de jabón está constreñida a ser una esfera por las leyes que gobiernan las superficies mínimas.

Pero Kant estaba equivocado acerca de cada una de las teorías matemáticas que pensaba que eran inevitables. Las geometrías no euclidianas fueron desarrolladas por Gauss, Bolyai, Lobachevsky; Las lógicas no aristotélicas fueron desarrolladas por Boole, Russell, Frege; y los números que no tenían la estructura lineal de una secuencia temporal (números complejos, cuaterniones) fueron desarrollados por Euler y Gauss y Hamilton. De hecho, la mayoría de estos desarrollos precedieron durante mucho tiempo a los escritos de Kant. Es cierto que las geometrías no euclidianas fueron iniciadas por Bolyai y Lobachevsky a principios del siglo XIX, pero los números complejos se remontan al Renacimiento italiano de Cardano, Tartaglia y Bombelli. ¡Y la lógica no aristotélica se remonta a la lógica medieval del siglo XII!

De modo que siempre hubo poca plausibilidad en la inevitabilidad psicológica de las teorías que eligió Kant. Pero su punto de vista enfrenta una objeción aún más seria. Incluso si Kant hubiera podido explicar por qué creemos que el espacio es euclidiano, su punto de vista nunca podría haber probado que el espacio es euclidiano, es decir, la geometría euclidiana es verdadera, por lo que nunca podría haber demostrado que constituía un conocimiento a priori. No hay ninguna razón por la que debamos creer que la geometría es euclidiana, incluso si es cierto que lo hacemos. Tal vez nuestro cerebro esté estructurado con un conjunto de teorías falsas, por lo que inevitablemente creemos cosas que no son ciertas. Kant parece no tener una respuesta disponible a este problema.

Más información: consulte la sección sobre Kant en el capítulo “El artificio y el mundo natural: matemáticas, lógica, tecnología” en la Historia de Cambridge de la filosofía del siglo XVIII.

Intuicionismo

El intuicionismo es la opinión, fuertemente influenciada por Kant, de que la verdad matemática no es nada más que la demostrabilidad matemática. (Floreció en la década de 1920, pero todavía existe en la actualidad.) Además, las demostraciones en matemáticas deben ser `constructivas ‘, donde esto significa que cualquier afirmación de que hay un número, digamos, que tiene una determinada propiedad, debe producir realmente que número: no basta con probar que hay uno. Para efectuar estos cambios, los intuicionistas, L.E.J. Brouwer (1881-1966) y A. Heyting, propusieron cambios en la lógica (llamada lógica intuicionista) y cambios en lo que había sido, y podría ser, probado en matemáticas (para hacer matemáticas intuicionistas).

Mucha gente se ha opuesto al cambio de lógica de los intuicionistas – particularmente los cambios en conectivos lógicos simples como “no” – por estar insuficientemente motivados, y ciertamente nunca ha estado claro que se puedan reemplazar las inferencias lógicas clásicas con las variantes del intuicionista; pero el cambio de lógica no es el problema real para la visión intuicionista.

El problema real es que los intuicionistas construyeron todo sobre el concepto de demostrabilidad, pero nunca dieron una explicación satisfactoria de lo que era la demostrabilidad. Por supuesto, cuando tenemos una prueba constructiva en n pasos, podemos entender que la línea final se prueba sobre la base de las otras. Pero, ¿qué pasa con los axiomas utilizados en la demostración? ¿Cómo se pueden demostrar? ¿De qué? Si el intuicionista afirma que algunas proposiciones son obviamente verdaderas y no requieren prueba, entonces recuperamos la distinción entre prueba matemática y verdad matemática. Por otro lado, si el intuicionista afirma que una prueba de una línea que consiste solo en la afirmación en sí es una prueba, entonces cada proposición es demostrable, incluidas las obviamente falsas.

De hecho, Gödel insinuó este problema en 1933 en un breve artículo titulado ‘Una interpretación del cálculo proposicional intuicionista’ (al señalar que la noción intuicionista de demostrabilidad no podría ser lo mismo que ‘demostrabilidad en un sistema formal’ o caería falta de los teoremas de la incompletitud) y la objeción debería haber sido suficiente para poner fin a la vista. Pero se mantuvo vivo por el hecho de que ofrecía un sistema formal que podía desarrollarse separadamente del esclarecimiento de los conceptos fundamentales; y también porque Michael Dummett había aprovechado la opinión (en la década de 1950) como una forma de formular su variante del antirrealismo. Sin embargo, el hecho de que la noción de demostrabilidad nunca pudiera explicarse satisfactoriamente debería haber dejado claro que no existía tal alternativa al realismo, y que las matemáticas clásicas no se vieron afectadas por las dudas de Brouwer. (En nuestra opinión, habría sido una ventaja si esto se hubiera aclarado en la década de 1940).

Lectura adicional: artículo de Edward Nelson “Comprensión del intuicionismo”

Constructivismo

El constructivismo es un nombre para la visión de que las entidades matemáticas deben tener un orden relacionado con su definición y demostración. Entonces, si uno tiene una prueba de un teorema que dice que hay un número con una propiedad P dada, entonces la prueba debería encontrar ese número; no debería, como lo haría si se usara un método de prueba como reductio ad absurdum, simplemente decirle que existe tal número, pero sin nombrarlo. Entonces, al definir objetos, hay etapas en la definición, y un objeto de un tipo particular solo se puede definir una vez que se han definido sus predecesores.  Por lo tanto, al definir un conjunto, los elementos del conjunto deben definirse primero y el conjunto en sí solo después, cuando los objetos mismos pueden “pensarse como una unidad”. Por lo tanto, el conjunto de caballos viene después de los caballos mismos, como una colección de estos últimos, y por lo tanto es constructivo, pero el conjunto de no caballos contiene el conjunto en sí mismo (ya que el conjunto en sí no es un caballo) y, por lo tanto, no es constructivo. La imagen subyacente de este tipo de constructivismo es el edificio de varios pisos (recuerde que todavía eran nuevos en ese momento): un piso solo se puede construir una vez que los pisos anteriores están en su lugar.

Originalmente, esta forma de constructivismo fue motivada por el deseo de asegurar que las matemáticas estuvieran libres de paradojas y contradicciones. (La paradoja de Russell involucra el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, pero ¿en qué etapa se construye ese conjunto?) Al hacer constructivas la definición y la demostración, se pensó que la idea de que las matemáticas eran una determinada ciencia podría rescatarse. La plantilla para esto fue el modelo iterativo de conjuntos en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. (Sin el axioma de la elección, la teoría era constructivista, y con ella no era constructivista). El intuicionismo fue una forma temprana de constructivismo, y el predicativismo de Weyl-Russell-Poincaré fue otra. Y como podemos ver, la idea motivadora es en realidad un conjunto de ideas sueltas, agrupadas en torno a la idea de etapas secuenciales. (Esta idea fue sugerida originalmente por Kant sobre los números, ver arriba).

El constructivismo no era en sí mismo necesariamente una visión antiplatónica, y ni siquiera era necesariamente finitista (las etapas podían pasar a lo transfinito). Por tanto, no había razón para pensar que los números producidos por una prueba constructivista no fueran entidades reales. Pero algunos de sus defensores mezclaron la idea constructivista con ideas antiplatónicas, por lo que creyeron que, en virtud de que las matemáticas tenían que definirse o demostrarse su existencia, esto significaba que las entidades de alguna manera estaban siendo producidas por nuestra actividad. Sin embargo, es justo decir que se trataba de una confusión: debido a que los constructivistas idea de la prueba no era `probado por nosotros los seres humanos, pero prov poder en un sentido abstracto. Entonces, cuando el constructivista dice que existe una prueba que puede producir un número dado, no quiere decir que la prueba haya sido realmente dada, sino que podría ser dada por un ser con una cantidad infinita de tiempo y paciencia. En cierto sentido, las nociones de prueba y definición de los constructivistas son que son entidades abstractas, platónicas. Y son ellos construible? Sobre este tema el constructivista guarda silencio.

Por lo tanto, el constructivismo siempre ha tenido una motivación incierta: quienes se sienten atraídos por él casi siempre se han sentido decepcionados en la ejecución. Porque una vez que uno se da cuenta de que el constructivismo requiere una armadura de entidades abstractas, gran parte del punto se pierde: si uno tiene pruebas abstractas, los números y conjuntos abstractos parecen absolutamente inobjetables.

Aún así, es importante señalar que todavía hay matemáticos constructivistas trabajando activamente en el área (Elliott Bishop, David Bridges, Fred Richman, siendo los directores) y que tienen un compromiso apasionado con su método. Pero también es cierto que el constructivismo requiere muchos cambios en la terminología, en los métodos de prueba y en los axiomas básicos; no es de ninguna manera una pequeña empresa reformular una prueba en términos constructivistas. Y debido a que implica una restricción de los métodos de prueba y axiomas, no todos los teoremas de las matemáticas clásicas pueden probarse en las matemáticas constructivistas; es inquietante que algunos de los “teoremas faltantes” sean enunciados necesarios para hacer física, por ejemplo, teoremas sobre los espacios de Hilbert.

Este problema se compensaría ligeramente si los constructivistas hubieran podido dar una motivación clara para su posición, pero hasta ahora no lo han hecho.

Lectura adicional: artículo de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford de Douglas Bridges sobre ‘Matemáticas constructivas’

Artículo de Wikipedia sobre constructivismo

E. Schechter, `El constructivismo es difícil

Constructivismo social

El constructivismo social, es una visión completamente diferente. De hecho, la similitud está realmente solo en el nombre. Porque el constructivismo social no sirve en absoluto a la idea de construir definiciones y pruebas por etapas; en realidad, es solo una forma bastante extrema de antirrealismo (ya sea platónico o de cualquier otro tipo) que trata a todas las matemáticas como ficticias. Así, mientras que la idea original del constructivismo fue motivada por el modelo de construcción de edificación, el constructivismo social está motivado por el modelo de construcción de ficción. (De hecho, un nombre más transparente para él sería ficcionalismo social.) Su idea esencial es que todas las matemáticas son solo una ficción inventada, una historia que se repite y se agrega, que no tiene relación con la realidad. Pero el proceso de difundir y agregar a esta ficción es colaborativo, de ahí el apelativo de “social”.

Esta forma de constructivismo social/ficcionalismo no se reserva exclusivamente para las matemáticas; en varias ocasiones se ha afirmado que el virus del sida se construye socialmente, que los electrones y quarks se construyen socialmente, que la peste bubónica en la Europa medieval se construye socialmente, etc. Algunas personas han afirmado que todas nuestras opiniones sobre la realidad son meras construcciones/ficciones sociales. (Esto ha sido retomado por algunos posmodernistas, pero se originó con los sociólogos David Bloor y Barry Barnes).

Los constructivistas sociales ganan credibilidad por sus puntos de vista presentándolos de una manera sistemáticamente engañosa. Se hacen afirmaciones que son ambiguas entre una lectura fuerte y una débil, como en “el conocimiento no es recibido pasivamente sino construido activamente por el sujeto cognitivo”. En una lectura esto es indiscutiblemente cierto e inofensivo, en otra parece sugerir que el conocimiento no es objetivo. En otras ocasiones, las premisas débiles están destinadas a establecer conclusiones absurdamente fuertes, como en “la función de la cognición es adaptativa y sirve a la organización del mundo experiencial, no al descubrimiento de la realidad ontológica”. Esto es simplemente un non sequitur. Desafortunadamente, el campo está plagado de este tipo de reclamos imprecisos.

La objeción obvia contra la visión de que todo está construido socialmente es que hace imposible comprender lo que somos en realidad nosotros, los miembros de la sociedad a la que la visión se refiere con tanto cariño. ¿No somos criaturas físicas con propiedades perfectamente objetivas, viviendo juntas de una manera perfectamente objetiva? ¿Y no necesita el constructivista social apelar exactamente a esas propiedades objetivas para argumentar que no hay propiedades objetivas? Esto ha sido llamado (por David Stove) la Objeción de Ismael: ¿cómo escapa la propia visión del constructivista social a la conclusión del constructivista social de que nada puede ser conocido objetivamente? Si el constructivista social sabe que en nosotros “la función de la cognición es adaptativa y sirve a la organización del mundo experiencial”, entonces debe ser el caso de que nuestro conocimiento del mundo implica el “descubrimiento de la realidad ontológica”, porque ahí tenemos algunos.

Aplicada únicamente a las matemáticas, el punto de vista no es susceptible de esta objeción. Pero el constructivismo social todavía ofrece una explicación insatisfactoria de las matemáticas y su relación con nuestro conocimiento científico. Si las matemáticas no son más que una ficción social, del mismo tipo que la mitología griega, ¿por qué son tan útiles para ayudarnos en la formulación de teorías científicas de todo tipo? Las matemáticas ayudan en los descubrimientos de la ciencia y, a su vez, son ayudadas por ellos, con el progreso científico que conduce a avances matemáticos: la relación parece a la vez profunda y cercana. ¿Cómo puede una ficción hacer todo eso? (¿Y por qué las historias sobre los dioses y héroes griegos no hacen algo similar?)

Cuando uno reflexiona sobre ello, las matemáticas no se parecen mucho a una ficción, un juego libre de la mente humana; es algo completamente diferente, algo para lo que no existe una analogía.

(Como nota a pie de página de todo esto, deberíamos decir que puede haber algunas cosas que son, de hecho, meras construcciones sociales. De hecho, el propio posmodernismo parece plausiblemente una mera construcción social: una visión que no guarda relación con la realidad, que ha ha sido diseminada y difundida por razones que no tienen nada que ver con su valor explicativo, sino simplemente porque tiene una utilidad social bastante diferente.Los posmodernistas probablemente no agradecerían esta conclusión, pero eso dice todo lo que hay que decir sobre los posmodernistas).

Formalismo

El formalismo es otra visión que está en el campo constructivista sin ser constructivista en el sentido propio. Su idea motivadora es que las matemáticas no son más que la manipulación formal de símbolos de acuerdo con reglas definidas: los símbolos no representan ni se refieren a nada. Por tanto, es una negación de cualquier semántica para enunciados matemáticos. Su trampa podría ser “¡las matemáticas son sintaxis sin semántica, teoría de la prueba sin teoría de modelos! La analogía es con un juego como las damas (¡el ajedrez tiene demasiado significado simbólico!): Las matemáticas son un juego con reglas, pero sin conexión con la realidad: no significa nada.

En las décadas de 1920 y 1930, la idea general del formalismo tuvo cierta vigencia: hubo desarrollos formalistas en la música, el arte, la lingüística y la poesía. Por tanto, no es de extrañar que también deba aplicarse a las matemáticas. Hay signos de formalismo en el tratamiento de Hilbert del infinito: los números finitos se tratan de manera realista, pero los números transfinitos se tratan como `puntos ideales’; no tienen realidad, sino que son simplemente símbolos que pueden manipularse de acuerdo con reglas aritméticas (ligeramente alteradas).

El matemático Abraham Robinson (1918-1974) se declaró a sí mismo un formalista, sorprendentemente dado que sus principales contribuciones fueron a la teoría de modelos, incluido el desarrollo de análisis no estándar. Pero es posible que el formalismo actuara para liberarlo de tener que considerar a los infinitesimales del análisis no estándar como entidades reales. Otro formalista confeso es el matemático de Princeton Edward Nelson, aunque sería más justo decir que Nelson está siendo repelido por el platonismo en lugar de atraído por el formalismo: cualquier La visión “constructivista” parece atraerlo. Sin embargo, Nelson probablemente está expresando la opinión de muchos matemáticos: el formalismo les permite hacer matemáticas clásicas sin hacer ningún cambio (como podría ser requerido por el intuicionismo) pero la interpretación formalista significa que no tienen que ser agobiados por ninguna forma de realismo. sobre entidades matemáticas.

El problema del formalismo es que, una vez más, no puede explicar la forma en que las matemáticas se integran con nuestro conocimiento del mundo real. Si el formalismo fuera cierto, no hay razón para que el actual “juego de matemáticas” sea el único que se pueda jugar; comience con diferentes axiomas y diferentes reglas y obtendrá algo completamente diferente. Pero no tenemos ninguna evidencia de juegos alternativos, ninguna evidencia de que sean posibles y ninguna evidencia de que si existieran, jugarían el mismo papel en la ciencia. Todo lo que sabemos es que todos los días hay una unión íntima de nuestro conocimiento matemático y nuestro conocimiento del mundo. De modo que el formalismo, como el constructivismo social en general, parece estar engañado por una falsa analogía: las matemáticas no son “como un juego”, son esencialmente sui generis. El problema es que no sabemos nada que sea “como” las matemáticas, sólo que las matemáticas son como las matemáticas.

Lectura adicional: artículo de Wikipedia sobre formalismo

El lógico de Frege

Gottlob Frege (1848-1925), escribiendo a fines del siglo XIX, quería reducir las matemáticas, o al menos parte de ellas, la aritmética de los números naturales, a lógica pura. Si esto pudiera hacerse, entonces, dado que la lógica no tiene presupuestos existenciales, la aritmética tampoco los tendría. Se seguiría simplemente de las leyes del razonamiento. Con este fin, Frege definió el número 0 como el número de cosas que no son idénticas a sí mismas. Como ningún objeto es no idéntico a sí mismo (como cuestión de lógica), ahora ha definido 0. Pero tenga en cuenta que solo hay un 0, por lo que puede definir el número 1 como el número de cosas que son el número 0. Ahora 2 se puede definir como el número de cosas que son los números 0 o 1. Luego, por repetición, cualquier número n puede definirse una vez que se define el n-1 anterior.

Sin embargo, para lograr esta definición de números concebidos como objetos, Frege tuvo que definir primero cuándo dos conjuntos son equinumerables: cuándo el número de F es igual al número de G. Desafortunadamente, esto requirió el infame Axioma V. Esto hace la afirmación aparentemente inocua de que dos propiedades son verdaderas de las mismas cosas cuando y solo cuando los conjuntos que determinan tienen los mismos miembros. Pero Russell descubrió que esta declaración irrestricta dio lugar a una paradoja y le comunicó este problema a Frege. Frege no veía forma de rescatar su teoría a la luz de este problema. (Zermelo también afirmó haber derivado esta contradicción un poco antes que Russell, pero el mérito ha sido para Russell).

Allí quedó el asunto hasta que, en 1983, Crispin Wright publicó Concepción de los números como objetos de Frege. Este libro reabrió la cuestión de si el Logicismo de Frege estaba realmente tan dañado por la paradoja de Russell como incluso Frege había parecido pensar. Wright encontró un principio más débil que el Axioma V que no dio lugar a contradicciones, pero que habría servido a los propósitos de Frege: se llama Principio de Hume. Dice que el número de F es igual al número de G si y solo si  F y  G están en una correspondencia 1 : 1.

Desde entonces ha surgido un debate sobre si realmente se puede decir que el principio de Hume es una verdad lógica o si (y esto sería casi tan bueno) es una verdad analítica, ¡pero incluso es posible que no sea cierto en absoluto! (El principal escéptico aquí ha sido George Boolos).

(Otro problema: tenga en cuenta que si se pretende la lógica con su teoría del modelo post-Tarskiano estándar, entonces esta teoría ya tiene presupuestos existenciales; presupone que hay un modelo con un número infinito de objetos. Entonces, en cierto sentido, el Logicismo es circular).

Lectura adicional: artículo de Wikipedia sobre el logicismo

El lógico de Russell

Bertrand Russell (1872-1970) también quería reducir las matemáticas a la lógica. Sus puntos de vista eran menos platónicos que los de Frege, ya que le preocupaban menos los números como “objetos” y prefería parafrasear el lenguaje matemático. Por ejemplo, ‘Hay dos perros’ se puede parafrasear como ‘Hay un perro A y un perro B y A no es igual a B’, que usa solo lenguaje lógico y no se refiere a números. El logicismo de Russell sigue siendo popular entre los filósofos a quienes les gustaría ver las matemáticas como algo trivial: la trivialidad es tanto una excusa perfecta para no hacer el esfuerzo de averiguarlo como una forma rápida de descartar argumentos basados en la objetividad de la verdad matemática. Las dificultades para la versión de Russell del logicismo incluyen:

– técnicamente, resultó imposible eliminar realmente todo lo que no es lógico, en particular, el ‘es miembro de’ de la teoría de conjuntos

– una vez admitida la pertenencia a un conjunto, algunos de los axiomas necesarios para ello parecían no lógicos (o lejos de la lógica trivial, al menos): especialmente el ‘Axioma del Infinito’ que establece que hay un conjunto infinito (en efecto, que los números no te quedes sin)

– incluso si la lógica necesaria para las matemáticas fuera trivial, ¿qué pasa con la metalógica? `El cálculo proposicional forma un entramado booleano distributivo complementado ‘describe la estructura matemática de la lógica y no es en sí mismo trivial

Incluso allá donde empezamos, con los dos caninos, hay algo sospechoso sobre los dos símbolos necesarios y el uso de la igualdad (que ya significa distinción numérica (sic)). Decir ‘Hay infinitos perros’, la lógica necesitará ayudarse a sí misma a un suministro infinito de símbolos. Un poco dudoso, si se supone que la lógica es anterior a las matemáticas. La cola de las matemáticas está empezando a mover al perro de la lógica.

Platonismo

El platonismo es la opinión de que las matemáticas estudian entidades “abstractas”, como números, conjuntos, grupos, etc., que son entidades reales que existen en un mundo no físico. El platonismo es impulsado por el sentimiento común de que la verdad matemática se descubre, no inventada, y por una lectura literal natural del lenguaje matemático ordinario como “Hay dos números primos entre 15 y 20”. También está motivado por la referencia en matemáticas a entidades tales como círculos perfectos que posiblemente no figuran en el mundo real.

El platonismo, sobre entidades matemáticas o de cualquier otra índole, siempre se ha enfrentado a dos problemas. El primero es epistemológico: si los números existen en algún otro mundo no físico y, por lo tanto, no tienen efectos causales, ¿cómo podemos conocerlos? Para saber que un elefante está a la vuelta de la esquina, necesitamos cierta interacción con las cadenas causales que emanan del elefante, ya sea directamente a nuestros ojos u oídos o mediante el testimonio de un observador de elefantes. Pero nada de eso es posible con números en otro mundo.

El platonismo se ha defendido contra ese argumento mediante el uso de “argumentos de indispensabilidad“, que se conciben como una “inferencia a la mejor explicación” al requerir la postulación de entidades explicativas con las que es posible que no tengamos interacción causal. Tenemos una interacción causal con las cámaras de nubes, y postulamos a los electrones como entidades explicativas sin que podamos interactuar directamente con ellos de manera causal (o al menos la inferencia de que tienen efectos causales sobre nosotros sigue solo después de su postulación como explicaciones). De manera similar, si se necesita una referencia a conjuntos y números en física, se puede argumentar que deben postularse para existir como parte de nuestra mejor explicación científica del mundo. Pero el paralelismo entre electrones y números es dudoso, ya que los electrones, cuando se postulan con una buena razón, encajan en la historia causal, y su papel en la historia causal explica por qué causan la evidencia observacional. No está claro cómo los números y las funciones, concebidos como en otro mundo, podrían encajar en la historia causal de la ciencia de este mundo.

Eso nos lleva al segundo argumento principal contra el platonismo, el argumento de que la historia científica, incluidos sus aspectos matemáticos, parece estar completa sin necesidad de incorporar entidades de otro mundo. Si un bebé puede percibir (como puede) la diferencia entre dos tonos y tres, habrá percibido algo acerca de la separación o división del flujo de sonido en su mundo, antes de hablar, postular o intuir “números”. Si la temperatura varía continuamente a lo largo de una habitación, de modo que se enfría gradualmente hacia la entrada, esa es una descripción completa de la situación física cuantitativa: cualquier intento por nuestra parte de describir eso con una `función ‘(concebido platónicamente como una relación entre conjuntos de números) no agrega nada a la variación física, y es claramente una pieza de invención lingüística de nuestra parte, no una interacción o referencia a otro mundo. Las características cuantitativas y estructurales de este mundo existen antes de cualquier descripción de ellas, y no necesitan ni admiten dependencia alguna de entidades de otro mundo.

Lectura adicional: artículo de Wikipedia  sobre platonismo

Filosofía Cantoriana de las Matemáticas

Los filósofos con un enfoque cantoriano de las matemáticas generalmente aceptan la teoría de conjuntos, la creación de Georg Cantor (1845-1918), en toda su extravagancia y gloria ontológicas. Las matemáticas de Cantor están asociadas con una ontología muy rica que se guía por unos pocos principios vagos, como un principio matemático de plenitud que dice: si algo es posible, porque es internamente consistente, entonces siempre que sea coherente con el resto de las matemáticas y demuestre fructífero para hacer matemáticas, deberíamos considerarlo actual.[1] De hecho, debido a sus creencias teístas, Cantor pensó que tales posibilidades matemáticas ya eran reales, es decir, reales en la mente de un intelecto divino. En particular, Cantor argumentó que debido a que es coherente concebir todos los números naturales reunidos en un conjunto, podemos pensar que existe un conjunto infinito que consta de todos los números naturales. La cardinalidad o tamaño de este conjunto es, el primer número infinito y el más pequeño.

Cantor es específicamente responsable de introducir la idea de números transfinitos en matemáticas. La noción de números infinitos múltiples iba en contra de la ortodoxia de que hay como mucho un infinito, que por su naturaleza es inconmensurable, incomparable e insuperable (y según algunos, incompleta). El argumento más famoso de Cantor sobre la existencia de múltiples números infinitos es su argumento diagonal. Específicamente, argumentó que el número de números reales debe exceder el número de números naturales. La prueba procede suponiendo reductio ad absurdum que los números naturales se podrían emparejar de forma uno a uno con los números reales. Entonces podríamos tener una lista con cada número natural emparejado con alguna expansión decimal de un número real como este:

1. .012345678…
2. .745987520346…
3. .673467547788…
4. .78787878778368…
5. .23415161477….
6. .13455677664578…

Podemos generar fácilmente un número real que no esté en la lista dibujando una diagonal a través de la lista y asegurándonos de que el nuevo número difiera en cada lugar decimal de los dígitos que se encuentran a lo largo de la diagonal en la lista. Deja que nuestro nuevo número sea

R=.a1a2a3a4a5 …. donde a1≠0, a2≠4, a3≠3, a4≠8, a5≠5, a6≠6 etc.

Por lo tanto, un número diagonal generado a partir de esta lista podría obtenerse, por ejemplo, agregando 1 a cada lugar diagonal para obtener .154967…

[1] El principio se enuncia en Grundlagen eine allgemeine Mannigfaltigkeitslehre de Cantor (Fundamentos de una teoría general de las variedades), (1883), que se encuentra en su Gesammelte Abhandlungen (GA). Cf. “El principio de dominio” como se analiza en la Teoría cantoriana de conjuntos y limitación del tamaño de Michael Hallett (Oxford: Clarendon, 1984).

[2] ¿Cuánto más grandes son los reales que los naturales? La hipótesis del continuo de Cantor establece que el tamaño de los reales (del continuo) es igual a, que es el tamaño del conjunto de potencias de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales). Cantor nunca probó la hipótesis y resulta que una vez que se axiomatiza la teoría de conjuntos (como la teoría de conjuntos ZF), la hipótesis es independiente de la teoría de conjuntos.

[3] La concepción iterativa de un conjunto (en el que los conjuntos se construyen desde abajo mediante un par de procedimientos simples) ya está presente en Cantor (1883). En ese trabajo, Cantor muestra cómo construir el universo teórico establecido a partir de unos pocos principios simples. Sin embargo, algunos de estos principios no son constructivos, como su principio general de que es aceptable postular un conjunto de poderes que supere a cualquier conjunto, incluidos los conjuntos transfinitos. El principio de que todos los conjuntos están bien ordenados también se proclama sin pruebas en Cantor (1883). La profundidad y originalidad de la visión intuitiva de Cantor es realmente asombrosa.

Adrian Heathcote, James Franklin y Anne Newstead